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명제의 역, 이, 대우, 삼단논법 – 수학방
명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요. 위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4 …
Source: mathbang.net
Date Published: 2/8/2022
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명제의 역,이,대우에 대해 알아보자 – 네이버 블로그
이제 명제의 역, 이, 대우의 개념을 정확히 설명해줄게. 명제의 가정과 결론에 해당하는 조건들의 위치를 바꾼 것을 역이라고 해. 그리고, 위치 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 9/10/2021
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대우 – 나무위키:대문
하나의 가언 명제에 대하여 전건과 후건을 모두 부정하고 그 순서를 뒤바꾼 명제를 말한다. 전건과 후건을 부정하지 않고 순서만 뒤바꾸면 역(逆)이라고 …
Source: namu.wiki
Date Published: 4/4/2022
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고1수학 / 명제의 역, 이, 대우의 정의와 성질
정부가 내세운 집단면역 목표가 백신 접종에 대한 불안감으로 코로나 소상공인 5차지원금 난항을 겪으면서 백신 수용성을 높이기 위한 다양한 인센티브를 도입해야 …
Source: swimming79.com
Date Published: 5/7/2021
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대우 (논리학) – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
다시 말해, 명제의 대우는 그 명제의 역의 이 또는 이의 역과 같다. 예를 들어, ‘p이면 q이다’라는 명제의 대우는 ‘q가 아니면 p가 아니다’이다.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 4/26/2022
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명제의 역, 이, 대우 그리고 필요.충분 과 필요충분조건..
1. 명제의 역, 이, 대우. 역(易: 바꿀 역), 이(異: 다를 이), 대우(對偶: 대할 대, 짝 우). 요걸 한자의 뜻을 생각하며 본다면 그리 어렵지 않은데 각각을 …
Source: m.cafe.daum.net
Date Published: 7/9/2022
View: 9085
2-2. 역이대우 – 공통수학 – 사이버스쿨
역 ; 변이 네 개면 사각형이다. ㅇ 이 ; 명제에서 반대조건들로 한 것입니다. 기호로 쓰면 다음과 같습니다. 명제 ; p → q ( …
Source: www.cyberschool.co.kr
Date Published: 7/30/2021
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[이산수학] 역, 이, 대우란? 명제 진리표로 알아보기!
역, 이, 대우는 명제에서 사용되는 용어로 하나의 명제를 변형하여 표현하는 것입니다. 특히, 증명하기 어려운 명제는 대우를 이용해 증명할 수 …
Source: devdange.tistory.com
Date Published: 10/30/2022
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[이산수학]역(Converse), 이(Inverse), 대우(Contraposition)이란?
역, 이, 대우 진리표. 빨간네모: 대우명제는 본 명제와 같은 진릿값을 갖 …
Source: bite-sized-learning.tistory.com
Date Published: 1/30/2022
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- Date Published: 2018. 2. 9.
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명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.
논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.
명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.
명제의 역, 이, 대우
명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.
여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.
이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 “~p → ~q”가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.
마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.
집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (AC)C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?
어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.
명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.
위 그림에서 QC ⊂ PC가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.
명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.
다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면 x2 = 4이다
명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.
위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4네요.
명제 p → q : x = 2이면 x2 = 4이다
역 q → p: x2 = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x2 ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x2 ≠ 4이면 x ≠ 2이다.
일단 명제는 x = 2이면 x2 = 4니까 참이죠?
역에서 x2 = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x2 = 4이므로 이도 거짓이고요.
x2 ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.
명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.
삼단논법
논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.
명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.
삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.
p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.
p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.
참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.
보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.
함께 보면 좋은 글
명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역
명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
명제의 참, 거짓
필요조건, 충분조건, 필요충분조건
정리해볼까요 명제의 역, 이, 대우 명제: p → q
역: q → p
이: ~p → ~q
대우: ~q → ~p
명제와 대우는 참, 거짓을 함께, 이와 역도 참, 거짓을 함께
명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 상관없음. 삼단논법 p → q, q → r이 참이면 p → r도 참
p → q → r
그리드형(광고전용)
명제의 역,이,대우에 대해 알아보자
1.일단, 조건과 결론을 바꾸면? 역이 돼.
‘3의 배수이면 9의 배수이다’가 이 명제의 역인거지.
2.조건과 결론을 모두 부정하면? 이가 돼.
‘9의 배수가 아니면 3의 배수가 아니다’가 이 명제의 이인거야.
3.조건과 결론을 바꾼 뒤에 모두 부정하면? 대우가 돼.
‘3의 배수가 아니면 9의 배수가 아니다’가 이 명제이 대우인거야.
한 개도 안어렵지? 처음 보는 친구들은 헷갈리겠지만,
반복해서 보면 금방 적응할거야~
자, 어느정도 익숙해졌을테니
이제 명제의 역, 이, 대우의 개념을 정확히 설명해줄게.
명제의 가정과 결론에 해당하는 조건들의 위치를 바꾼 것을 역이라고 해.
그리고, 위치는 그대로 둔 채 각 조건들을 부정하여 만든 것을 이라고 하지.
마지막으로 조건들을 부정한 다음 그 위치를 바꾼 명제를 원래 명제의 대우라고 한단다.
대우는 그러니까, 역과 이를 합한거라고 생각하면 돼.
명제의 역, 이, 대우 간의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있어.
고1수학 / 명제의 역, 이, 대우의 정의와 성질
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오늘은 고1 수학 명제단원에서 역, 이, 대우의 정의와 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.^^ 우선 명제의 정의를 알아야 하는데.. 저번 시간에 명제란~! 참, 거짓이 판별이 나는 식이나 문장을 말한다고 하였죠. 그럼 이 명제를 가지고 역, 이, 대우를 쓰는 방법을 말씀드릴께요^o^
두 개의 조건 p, q를 가정과 결론으로 결합시켜 만들어낸 명제는 네 가지가 있습니다. 그 경우의 수는,
여기서 ~의 의미는 수학적인 기호로 not을 이야기합니다. 따라서 ‘~p’라고 하면 ‘p가 아닌것’이라고 해석하면 되죠~! 이렇게 명제 p → q와 그 역, 이, 대우 사이의 관계를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.^^
위와 같이 명제 p → q의 역과 이는 서로 대우관계에 있음을 알 수가 있고, 명제 p → q의 역의 이는 이 명제랑 대우관계임도 알 수가 있습니다. 물고 물리는 역, 이, 대우관계^^ㅎㅎㅎ 명제와 역, 이, 대우와의 관계를 한 눈에 알아보기 쉽게 설명한 그림으로 잘 기억해 두시기 바랍니다.^-^
예를 들어 ‘6의 약수이면 12의 약수이다.’ 를 보고 이 명제의 역, 이, 대우를 말해보고 그에 따른 참, 거짓을 가려보면 ① 역 : 12의 약수이면 6의 약수이다. (거짓) ② 이 : 6의 약수가 아니면 12의 약수가 아니다. (거짓) ③ 대우 : 12의 약수가 아니면 6의 약수가 아니다. (참)
그럼 다음은 명제와 대우와의 상관관계에 대해서 살펴보겠는데요~!
두 조건 p, q를 만족하는 집합을 각각 P, Q라고 하면 ~p, ~q 를 만족하는 집합은 각각 P의 여집합, Q의 여집합으로 나타낼 수가 있습니다.
그래서 명제와 대우는 어쩔 수없는 한 운명이 되는 것이고, 역과 이또한 한 운명이 되는 것이죠! 명제가 참이면 대우도 반드시 참인 것이고, 역이 참이면 이도 참… 반대로 역이 거짓이면 이도 거짓, 명제가 거짓이면 대우도 거짓.. 이러한 원리가 적용이 되는 것입니다.^-^ 오늘은 명제의 역, 이, 대우에 대해서 살펴보았는데 내일은 이것을 가지고 명제의 필요조건과 충분조건을 말하도록 하겠습니다.!
위키백과, 우리 모두의 백과사전
논리학에서, 어떤 조건 명제의 대우(對偶, 영어: contrapositive)는 그 조건 명제의 가정과 결론을 뒤바꾼 뒤 각각 부정을 취하여 얻는 명제이다. 다시 말해, 명제의 대우는 그 명제의 역의 이 또는 이의 역과 같다. 예를 들어, ‘p이면 q이다’라는 명제의 대우는 ‘q가 아니면 p가 아니다’이다. 고전 논리에서 한 쌍의 명제가 서로 대우라면, 이 둘은 항상 논리적 동치이다. 즉, 서로 대우인 명제는 둘 다 참이거나 둘 다 거짓이다.
같이 보기 [ 편집 ]
명제의 역, 이, 대우 그리고 필요.충분 과 필요충분조건..
명제에 대하여 두번째 글입니다..^^..
첫번째 글에서 너무 복잡하고 길게 쓴 것 같아 가능한 짧고, 간단하게 적어보겠습니다..
중학수학(중2) 에서는 명제와 역 까지 교과과정이고, 이 와 대우는 고1수학에 등장 합니다..
그러나 명제를 공부할 때 중2라 하여도 같이 공부해 두는 것이 좀더 편리 합니다..
명제에 대하여는 앞의 글에서 이미 적었으니 생략하고 바로 들어가겠습니다..
명제에서 역, 이, 대우를 공부할 때 한자를 생각하면 좀더 쉽게 접근이 가능합니다..
1. 명제의 역, 이, 대우
역(易: 바꿀 역), 이(異: 다를 이), 대우(對偶: 대할 대, 짝 우)
요걸 한자의 뜻을 생각하며 본다면 그리 어렵지 않은데 각각을 예로 들어 보겠습니다..
명제(命題) : 오늘이 화요일 이면 내일은 수요일 이다, 에 대하여 p → q
역(역) : 내일이 수요일이면 오늘은 화요일 이다, q → p
이(이) : 오늘이 화요일이 아니면 내일은 수요일이 아니다, ~ p → ~ q
대우(대우) : 내일이 수요일이 아니면 오늘은 화요일이 아니다, ~ q → ~ p
이걸 보기 편하게 그림으로 표시하면 요런 식으로 됩니다..
명제 p → q 와 그 대우 ~ q → ~ p 는 동치관계 라 합니다..
명제 p → q 가 참이면, 그 대우 ~ q → ~ p 도 참이다.
명제 p → q 가 거짓이면, 그 대우 ~ q → ~ p 도 거짓이다
증명 : 명제 p → q 가 참이면 p, q 의 진리집합에 대하여 P⊂Q 가 성립한다..
즉, Q^c ⊂ P^c 이고, 이때 P^c(P의 여집합), Q^c(Q의 여집합) 은 각각 조건 ~ p,~ q 의
진리집합 이므로 ~ q → ~ p 가 참 이다..
2. 명제의 추론
p ⇒ q 이고, q ⇒ r 일 때, p ⇒ r 이다..
요렇게 두 명제 p ⇒ q, q ⇒ r 로부터 p ⇒ r 을 유도하는 추론을 삼단논법 이라 합니다..
요 삼단논법은 주로 논리학의 태두 이신 소크라테스 선생을 아주 여러 번 죽이는 것으로 많이들
이해하지요..^^..
소크라테스는 사람이다, 사람은 죽는다, 고로 소크라테스는 죽는다..
3. 필요. 충분조건과 필요충분조건
명제 p → q 가 참일 때, 즉 p ⇒ q 일 때, p 는 q 이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한
필요조건 이라 합니다..
뭔 말 이냐 하면,
“ 소녀시대(p)는 가수(q) 이다 ” 에서, 소녀시대는 가수 이지만, 가수가 모두 소녀시대는 아니다
가수(q)는 소녀시대(p) 이기 위한 필요조건(necessary condition) 이고,
소녀시대(p) 는 가수(q) 이기 위한 충분조건(sufficient condition) 라는 말입니다..
간단히 작은놈(p)은 충분조건이고, 큰놈(q)은 필요조건 입니다..(P⊂Q)
작은놈은 큰놈에게 속할 수 있지만 큰놈은 작은놈에게 속할 수는 없지요..^^..
필요.충분 조건을 판단할 때 기호 ⇒ 가 화살의 모양을 닮았으므로 화살에서 활을 쏜는 상태를
연상하면 활시위 는 충분조건, 화살이 과녁에 맞을 때 과녁을 필요조건이라 생각하면 됩니다..
필요충분조건 이란 서로 같다는 의미를 대신 하는 표현입니다..
p ⇒ q 이고, q ⇒ p 이면 요건 동치라 하고 p ⇔ q 로 나타내며 p 는 q 이기 위한,
q 는 p 이기 위한 필요충분 조건 이라 합니다..
“ 해진(p) 이는 혜수 애인(q) 이다 ” 에서 해진 이는 혜수 애인 이고, 혜수 애인은 해진 이다..
즉, p ⇒ q 이면서, q ⇒ p 인 것이 필요충분조건 입니다..
p ⇒ q 이고, q ⇒ p 이면, P ⊂ Q, Q ⊂ P.. P = Q , p ⇔ q
사투리로 말하면 “갸가 갸가” 란 말이고, 그 놈이 그 놈이다 란 뜻입니다..^^..
요기 까지가 중2 부터 시작해서 고1 까지 배우는 명제 입니다..
사실 별로 어려운게 아닌데 말이 어려운 것 같아요..^^..
[이산수학] 역, 이, 대우란? 명제 진리표로 알아보기!
안녕하세요!
데브당에입니다.
지난 시간에는 “명제, 논리연산자 그리고 조건명제 진리표”에 대해 알아보았습니다.
이어서 명제에서 가장 많이 사용하는 역, 이, 대우에 대해 알아보도록 하겠습니다.
개요
역, 이, 대우는 명제에서 사용되는 용어로 하나의 명제를 변형하여 표현하는 것입니다.
특히, 증명하기 어려운 명제는 대우를 이용해 증명할 수 있습니다.
개념
명제는 “p → q”라고 가정하겠습니다.
이에 대한 역, 이, 대우의 개념과 표현은 아래와 같습니다.
역
개념 : 두 개(p와 q)의 위치 바꾸는 것
표현 : q → p
이
개념 : 각각의 명제에 부정을 바꾸는 것
표현 : ¬p → ¬q
대우
개념 : 역과 이를 합친 것
표현 : ¬q → ¬p
🌟 여기서 중요한 점은 대우가 참이면 본 명제도 참이다.
예시
다음으로 예시를 통해 역, 이, 대우에 대해 알아보겠습니다.
예시명제 “2가 홀수이면, 10은 5보다 크다.”
본 명제
p : 2는 홀수이다. (False)
q : 10은 5보다 크다. (True)
p → q : “2가 짝수이면, 10은 5보다 크다.” (True)
역
q → p
“10이 5보다 크면, 2는 짝수이다.” (False)
이
¬p → ¬q
“2가 짝수이면, 10은 5보다 작거나 같다.” (False)
대우
¬q → ¬p
“10이 5보다 작거나 같으면, 2는 짝수이다.” (True)
마무리
지금까지 역, 이, 대우에 대해 알아보았습니다.
다음 시간에도 이어서 이산수학에 대해 알아보도록 하겠습니다.
감사합니다!
[이산수학]역(Converse), 이(Inverse), 대우(Contraposition)이란?_진리표첨부
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이산수학_명제와논리_역(Converse), 이(Inverse), 대우(Contraposition)이란?
때로는 주어진 명제만으로 논리를 전개하거나 증명하기가 어려울 때가 있습니다. 이때 역, 이, 대우 중 하나를 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 간접증명할 때 사용하기도 합니다.
■ 역, 이, 대우 진리표
빨간네모: 대우명제는 본 명제와 같은 진릿값을 갖습니다.
파란네모: 역명제는 이명제와 같은 진릿값을 갖습니다.
■ 연습문제
명제 “오늘 눈이 오면 나는 치킨을 먹는다.”의 역, 이, 대우를 구해봅시다.
p: 오늘 눈이 온다.
q: 나는 치킨을 먹는다.
역: 내가 치킨을 먹으면 눈이 온다.
이: 오늘 눈이 오지 않으면, 나는 치킨을 먹지 않는다.
대우: 내가 치킨을 먹지 않으면, 오늘 눈이 오지 않는다.
■ 활용 문제(대우증명볍)
대우명제는 본 명제와 같은 진릿값을 갖습니다. 이 점을 이용하여 대우명제가 참임을 증명하면 본 명제도 참임을 증명할 수 있습니다.
문제) 모든 정수 n에 대해 n^2이 짝수면, n도 짝수임을 증명하라
풀이)
p: 모든 정수 n에 대해 n^2는 짝수다.
q: 정수 n은 짝수다.
~p: 모든 정수 n에 대해 n^2는 짝수가 아니다(홀수다).
~q: 정수 n은 짝수가 아니다(홀수다).
~q→~p: 정수 n이 홀수이면, n^2는 홀수다.
n이 짝수가 아니므로 n = 2k+1(k는 정수)이 되고,
∴ 명제 p→q “모든 정수 n에 대해 n^2이 짝수이면, n도 짝수다.”는 참이다.
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