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삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소 – 수학방
삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요.
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Date Published: 7/30/2022
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Source: aodaithanhmai.com.vn
Date Published: 11/26/2022
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Top 20 삼각함수 주기 공식 The 39 Detailed Answer
삼각함수의 주기와 최대, 최소값, 삼각방정식과 부등식 – JW MATHea. Article author: jwmath.tistory.com; Reviews from users: 518 ⭐ Ratings; Top …
Source: chewathai27.com
Date Published: 2/25/2021
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- Author: 진쌤수학
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- Date Published: 2019. 2. 13.
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삼각함수와 주기
00.삼각함수와 주기
삼각함수에서 자주 언급되는 주기 부분만 따로 정리를 해보았습니다. 작성한지가 오래된 자료라 일부를 수정하고 그래프를 대폭 추가해서 다시 만들어 보았습니다. 주기 부분을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
01.주기와 관계식
02.삼각함수와 주기
03.주기가 혼합된 함수의 주기
삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소
삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.
그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x – p)2 + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.
먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.
삼각함수 그래프의 이동
y = sinx 그래프의 이동
y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.
그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요. y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, - 에요. sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요. 이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠. y = sinx와 y = asinx의 그래프 비교 y = sinx y = asinx 주기 2 π 2 π 최댓값 1 |a| 최솟값 -1 -|a| 이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠. y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠. 그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요. x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다. y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교 y = sinx y = sin(bx) 주기 2 π 최댓값 1 1 최솟값 -1 -1 이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠. 이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)2은 y = ax2의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠. 그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요? y = sin(x + c) y = sin{x - (-c)} x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요. y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q의 그래프를 생각해보세요. y = ax+ q의 그래프는 y = ax의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프에요. 같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요. y = sinx의 그래프와 y = sin(x + c)의 그래프, y = sinx + d 비교 y = sinx y = sin(x + c) y = sinx + d 주기 2 π 2 π 2 π 최댓값 1 1 1 + d 최솟값 -1 -1 -1 + d 위 내용을 한 번에 정리해보죠. y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠. y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교 y = sinx y = asin(bx + c) + d 주기 2 π 최댓값 1 |a| + d 최솟값 -1 -|a| + d a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다. y = cosx 그래프의 이동 y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요. y = tanx의 그래프의 이동 하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다. y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠. a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요. b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요. c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요. d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요. 삼각함수 그래프의 이동 y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d y = atan(bx + c) + d 최댓값 |a| + d 없음 최솟값 -|a| + d 없음 주기 점근선 없음. (n은 정수) 위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요. 함께 보면 좋은 글 삼각함수 그래프 그리는 법 - sin 그래프, 주기함수 삼각함수의 그래프 - cos 그래프 삼각함수의 그래프 - tan 그래프 그리드형(광고전용)
[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제)
| 같이 보면 좋은 글
📄 [ 수학I] 삼각함수의 뜻, 삼각비
📄 [수학I] 삼각함수 사이의 관계
| y= sinx의 그래프 (사인함수)
[정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징사인함수 y=sinx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : 실수 전체의 집합
– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }
2. 주기가 2π
sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수)
3. 원점에 대하여 대칭
sin(x) = -sin(-x)
먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다.
원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다.
| y= cosx의 그래프 (코사인함수)
[정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징코사인함수 y=cosx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : 실수 전체의 집합
– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }
2. 주기가 2π
cos(x) = cos(2nπ+x) (단 n은 정수)
3. y축에 대하여 대칭
cos(x) = cos(-x)
4. y=sinx를 x축의 방향으로 -π/2만큼 이동하면 y=cosx와 겹쳐짐
sin(x-π/2)=cosx
코사인함수는 사인함수를 x축의 방향으로 평행이동한 함수로, 정의역과 치역, 주기가 사인함수와 서로 같습니다.
다만, y=cosx는 (0,1), (π/2, 0), (π,-1),(3π/2,0)을 지납니다.
| y= tanx의 그래프 (탄젠트함수)
[정리] 탄젠트함수 (y=tanx)의 특징탄젠트함수 y=tanx
1. 정의역과 치역
– 정의역 : { x | x≠nπ+π/2인 모든 실수 (단, n은 정수) }
– 치역 : 실수 전체의 집합
2. 주기가 π
tan(x) = tan(nπ+x) (단 n은 정수)
3. 원점에 대하여 대칭
tan(x) = -tan(-x)
4. x=nπ+π/2를 점근선으로 가짐 (단, n은 정수)
탄젠트함수는 사인함수를 코사인함수로 나눈 값으로, 앞서 살펴본 두 함수와 다르게 주기가 π입니다.
그리고 정의역이 모든 실수가 아니며 오히려 치역이 모든 실수라는 특징을 가지고 있습니다.
탄젠트함수는 (0,0) (π/4, 1), (π/3,√3)등을
지납니다.
| 삼각함수의 응용형 y=asinbx+c꼴
삼각함수 y=asinbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.
2. 주기는 2π/b
삼각함수 y=acosbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.
2. 주기는 2π/b
삼각함수 y=atanbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.
1. 점근선은 x= (nπ+π/2)/b
2. 주기는 π/b
| 학습지 미리보기
| 첨부파일
2020SP H2-16.pdf 0.18MB
| 닫는 말
이번 학습지는 한 장에 다섯 문제로, 왼쪽에는 주기,치역,점근선을 써보고, 오른쪽에는 그래프를 그려볼 수 있습니다.
정답은 주기/치역/점근선만 제공하며, 그래프는 제공하지 않는다는 점 양해바랍니다.
감사합니다.
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삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소
삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠. 그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x – p)2 + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요. 그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요. 먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요. 삼각함수 그래프의 이동 y = sinx 그래프의 이동 y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요. 그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요. y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, - 에요. sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요. 이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠. y = sinx와 y = asinx의 그래프 비교 y = sinx y = asinx 주기 2 π 2 π 최댓값 1 |a| 최솟값 -1 -|a| 이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠. y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠. 그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요. x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다. y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교 y = sinx y = sin(bx) 주기 2 π 최댓값 1 1 최솟값 -1 -1 이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠. 이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)2은 y = ax2의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠. 그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요? y = sin(x + c) y = sin{x - (-c)} x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요. y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q의 그래프를 생각해보세요. y = ax+ q의 그래프는 y = ax의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프에요. 같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요. y = sinx의 그래프와 y = sin(x + c)의 그래프, y = sinx + d 비교 y = sinx y = sin(x + c) y = sinx + d 주기 2 π 2 π 2 π 최댓값 1 1 1 + d 최솟값 -1 -1 -1 + d 위 내용을 한 번에 정리해보죠. y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠. y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교 y = sinx y = asin(bx + c) + d 주기 2 π 최댓값 1 |a| + d 최솟값 -1 -|a| + d a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다. y = cosx 그래프의 이동 y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요. y = tanx의 그래프의 이동 하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다. y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠. a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요. b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요. c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요. d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요. 삼각함수 그래프의 이동 y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d y = atan(bx + c) + d 최댓값 |a| + d 없음 최솟값 -|a| + d 없음 주기 점근선 없음. (n은 정수) 위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요. 함께 보면 좋은 글 삼각함수 그래프 그리는 법 - sin 그래프, 주기함수 삼각함수의 그래프 - cos 그래프 삼각함수의 그래프 - tan 그래프 그리드형(광고전용) 푸리에해석3: 삼각함수의 주기(Period of Trigonometric Functions) 삼각함수는 고딩 때 죽으라고 “코코사사~”와 같은 공식을 외우게 만들어 나를 많이 괴롭힌 수학함수였는데 지금의 이 나이에 이를 정리할 필요가 생길 줄이야… ㅠ_ㅠ! 제가 고딩 때 거의 수포자 비슷한 지경이었는데 그 원인은 이 삼각함수와 행렬 때문이었습니다… 선형대수학은 지금도 쳐다보기 싫습니다. 개인적인 생각이지만 대학의 교양과정 수학과목인 선형대수학이 재미있다고 느끼는 학생이라면 자신에게 천재끼가 약간 있다고 생각하셔도 될 것입니다. 개인적으로 고딩들이 제법 많은 삼각함수의 공식들을 꼭 외워야하는지에 대해 강한 의문을 가지고 있습니다. 1개 정도의 유도과정만 이해시키고, 이런 것은 그냥 테이블에서 찾아서 사용하면 되는데… 이 바쁜 세상에 그걸 꼭 머릿속에 채워 넣어야하는지?? 삼각함수는 아마도 직각삼각형의 피타고라스 정리에서 출발되었으리라 추정합니다. [FIG.1] 사인함수 그리기. 사인함수는 시계바늘이 반시계방향으로 회전할 때 옆에서 시계바늘을 쳐다본 경우 바늘의 높이가 얼마나 높게 보이는지를 재고, 그 높이를 회전각에 따라 그래프로 표시한 것입니다. 바늘이 1바퀴를 돌면 다시 시작되므로 같은 그래프가 360도(2π 라디안)마다 반복되며, 이와 같이 그래프가 반복되는 각도를 주기(Period)라고 합니다. 그럼 바늘길이가 2, 3과 같이 길어지면? 2sin(x)는 sin(x)를 2배로 한 것이므로 그냥 사인함수의 산의 높이가 높아지고, 골짜기의 깊이가 깊어질 뿐입니다. [FIG.2] sin(x)와 2sin(x)의 그래프. 2sin(x)의 그래프는 sin(x)의 그래프를 y축 방향으로 아래, 위로 2배 잡아당긴 것 외에는 sin(x)의 그래프와 달라지는 것이 없습니다. 코사인함수는 사인함수와는 달리 시계바늘을 위에서 보는 경우 보이게 되는 시계바늘의 수평길이를 재서 이를 회전각에 따라서 그 길이를 표시한 것입니다. [FIG.3] 코사인함수 그리기. 코사인함수는 시계바늘의 회전각에 따른 옆에서 본 시계바늘의 높이가 아니라, 위에서 본 시계바늘의 길이이기 때문에 회전각이 0도 일 때 가장 긴 1입니다. 따라서 사인함수는 0부터 시작하고, 코사인함수는 1부터 시작되며, 360도(2π 라디안) 마다 반복됩니다. 마찬가지로 3cos(x)의 그래프는 cos(x)를 3배한 것이므로 cos(x)의 함수를 위, 아래(y축 방향)로 동시에 잡아당기면 됩니다. 그런데 [FIG.2]와 [FIG.3]의 그래프를 비교해보면 코사인 그래프를 오른쪽으로 90도 밀어버리면 사인함수와 겹쳐짐을 알 수 있습니다. 즉 같아집니다. 함수 f(x)를 x축으로 a 만큼 밀어버리면 f(x-a), x축으로 a 만큼 당기면 f(x+a)이므로, 사인함수와 코사인함수의 위상각의 차이(Phase Shift)에 따른 관계는 계산이나 외울 필요는 없고, 사인과 코사인함수의 그래프를 그려놓고 보면 간단히 알 수 있습니다. 위상각(Phase Angle)이란 sin(x+π/4)와 같은 경우 π/4를 의미합니다. 이제 sin(2x), 혹은 cos(3x)와 같은 삼각함수는 어떻게 그려질까요? sin(x)와 sin(2x)를 예로들면, x가 90도이면 2x는 180도입니다. 즉 [FIG.1]에 보인 시계바늘이 1바퀴 돌면 sin(x)가 그려지는데… sin(x)의 x가 360도가면, sin(2x)의 2x는 720도를 간 것입니다. 따라서 sin(x)가 1주기를 가는 동안 sin(2x)는 2주기를 갑니다. [FIG.4] 사인함수의 그래프와 사인함수 제곱의 그래프. 2π/3=(2*3.14)/3=about 2.1. sin(x)의 함수는 주기가 2π 라디안이고 +/- 1.0 사이를 오르락내리락하는 함수이며, 나중에 설명할 각속도(Angular Velocity, wt)에 해당하는 x의 값이 커질수록 주기가 짧아집니다. sin(2x)는 sin(x)의 1주기인 2π 동안 2주기를 진행하였기 때문에 2π의 1/2인 π가 됩니다. 일반적으로 표현하면 sin(kx)와 cos(kx)의 주기는 2π/k가 됩니다. 따라서 sin(0.5x)는 2π/0.5=4π로 주기가 늘어나게 됩니다. 사인함수 혹은 코사인 함수를 제곱하게 되면? [FIG.4]의 우측 그래프에 보인 것과 같이 –값이 +로 되기 때문에 삼각함수의 제곱은 모두 +의 값을 가지게 되고, 주기는 다시 1/2로 감소하게 됩니다. sin(x)의 주기는 2π, sin(2x)의 주기는 이것의 반인 π, sin2(2x)의 주기는 또 이것의 반인 π/2가 됩니다. 이제 삼각함수들끼리 더해지는 경우의 주기는 어떻게 될까요? 2sin(x)와 sin(10x)를 더해보겠습니다. 식(2)에서 2sin(x)의 주기는 2π, sin(10x)의 주기는 2π/10=0.2π 라디안입니다. [FIG.5] 삼각함수의 합성. 2sin(x)+sin(10x). [FIG.5]를 보면 삼각함수를 더하거나 빼는 경우에는 주기가 짧은 삼각함수가 주기가 긴 삼각함수에 올라타기(실리기) 때문에 삼각함수를 합성하는 경우에는 주기가 긴 삼각함수의 주기로 됨을 알 수 있습니다. [FIG.1]에서 [FIG.5]까지의 그림들에서 알 수 있듯이 삼각함수는 주기성을 가지고 있기 때문에 삼각함수는 저거뜰끼리 아주 다양한 동일성을 가지게 되는데 이를 삼각함수의 동일성(Trigonometric Identities), 혹은 삼각함수의 공식이라고 합니다. 너무 많아서 외우기 골치 아픕니다. [TABLE1] 삼각함수 공식(Summary of Trigonometric Identities). 고딩들이야 수학시험을 위해 [TABLE1]의 공식들을 외워야하지만 대학을 졸업한 사람들 중에서, 설사 수학을 전공한 사람들일지라도 저 공식을 머릿속에 담아둔 사람들은 거의 없을 것입니다. 필요하면 찾아서 사용하면 됩니다. 삼각함수를 각을 나타내는 x축 방향으로 밀거나 당겼을 때 삼각함수들이 어떤 관계를 가지는지에 대한 공식은 따로 외울 필요는 없습니다. 그냥 sin, cos, tan의 그래프를 그리고 세 그래프를 비교하면 바로 알 수 있습니다. 그런데 좀 짜증나는 공식은 삼각함수들의 덧셈과 곱셈에 대한 공식일 것입니다. 이제 삼각함수들을 곱해버리면 곱해진 삼각함수의 주기는 어떻게 될까요? 일단 그래프로 그려서 살펴보겠습니다. [Fig.6] sin(x)*sin(3x) 함수의 주기성. sin(x)의 주기는 2π, sin(3x)의 주기는 2π/3=0.667π(그래프의 x축 값 3.14*0.667= 2.01에 해당)인데 이 2개를 곱한 삼각함수의 주기는 π입니다. 삼각함수들을 더하거나 빼는 경우에는 [FIG.5]에서 알 수 있듯이 합성 삼각함수의 주기는 주기가 긴 삼각함수의 주기였는데…???. [TABLE1] 오른쪽 제일 하단의 삼각함수 공식은 삼각함수들의 곱을 삼각함수들의 더하기 빼기로 변환시켜주는 공식인데 두 삼각함수의 각속도들을 빼거나 더해주고 있습니다. sin(A)*sin(B)는 cos(A+B), cos(A-B)의 덧셈(뺄셈)으로 표현되므로 sin(3x)의 3x에서 sin(x)의 x를 빼주면 3x-x=2x, 더해주면 3x+x=4x입니다. cos(2x)의 주기가 cos(4x)의 주기보다 길기 때문에 sin(x)*sin(3x)의 주기는 cos(2x)의 주기인 π가 되겠군요. 위에서의 설명이 맞는지 확인을 해보겠습니다. 식(4)에서 sin(3x)의 각속도 3x에서 sin(2x)의 각속도 2x를 빼면 3x-2x=x이므로 식(4)의 주기는 sin(x)의 주기, 즉 2π와 같아야만 합니다. [Fig.7] sin(2x)*sin(3x) 함수의 주기성. [FIG.3]에서 알 수 있듯이 코사인함수는 y축에 대해서 대칭이기 때문에 cos(-x)=cos(x)입니다. 이제 대충 정리가 되는군요. “삼각함수들이 곱해진 경우의 주기(Period)는 곱해진 두 삼각함수의 긴 각속도에서 짧은 각속도를 빼준 값이다.” 아무래도 아닌 것 같습니다. 다시 공부해서 수정하겠습니다. (2020년 1월 25일) 왜 그런지는 모르겠습니다만 일단 답은 찾은 것 같군요. 아래 포스트의 마지막 부분을 보시면 됩니다. (2020년 12월 17일) [수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [ 수학I] 삼각함수의 뜻, 삼각비 📄 [수학I] 삼각함수 사이의 관계 | y= sinx의 그래프 (사인함수) [정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징 사인함수 y=sinx 1. 정의역과 치역 – 정의역 : 실수 전체의 집합 – 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 } 2. 주기가 2π sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수) 3. 원점에 대하여 대칭 sin(x) = -sin(-x) 먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다. 원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다. | y= cosx의 그래프 (코사인함수) [정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징 코사인함수 y=cosx 1. 정의역과 치역 – 정의역 : 실수 전체의 집합 – 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 } 2. 주기가 2π cos(x) = cos(2nπ+x) (단 n은 정수) 3. y축에 대하여 대칭 cos(x) = cos(-x) 4. y=sinx를 x축의 방향으로 -π/2만큼 이동하면 y=cosx와 겹쳐짐 sin(x-π/2)=cosx 코사인함수는 사인함수를 x축의 방향으로 평행이동한 함수로, 정의역과 치역, 주기가 사인함수와 서로 같습니다. 다만, y=cosx는 (0,1), (π/2, 0), (π,-1),(3π/2,0)을 지납니다. | y= tanx의 그래프 (탄젠트함수) [정리] 탄젠트함수 (y=tanx)의 특징 탄젠트함수 y=tanx 1. 정의역과 치역 – 정의역 : { x | x≠nπ+π/2인 모든 실수 (단, n은 정수) } – 치역 : 실수 전체의 집합 2. 주기가 π tan(x) = tan(nπ+x) (단 n은 정수) 3. 원점에 대하여 대칭 tan(x) = -tan(-x) 4. x=nπ+π/2를 점근선으로 가짐 (단, n은 정수) 탄젠트함수는 사인함수를 코사인함수로 나눈 값으로, 앞서 살펴본 두 함수와 다르게 주기가 π입니다. 그리고 정의역이 모든 실수가 아니며 오히려 치역이 모든 실수라는 특징을 가지고 있습니다. 탄젠트함수는 (0,0) (π/4, 1), (π/3,√3)등을 지납니다. | 삼각함수의 응용형 y=asinbx+c꼴 삼각함수 y=asinbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다. 1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다. 2. 주기는 2π/b 삼각함수 y=acosbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다. 1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다. 2. 주기는 2π/b 삼각함수 y=atanbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다. 1. 점근선은 x= (nπ+π/2)/b 2. 주기는 π/b | 학습지 미리보기 | 첨부파일 2020SP H2-16.pdf 0.18MB | 닫는 말 이번 학습지는 한 장에 다섯 문제로, 왼쪽에는 주기,치역,점근선을 써보고, 오른쪽에는 그래프를 그려볼 수 있습니다. 정답은 주기/치역/점근선만 제공하며, 그래프는 제공하지 않는다는 점 양해바랍니다. 감사합니다. ✔ 저작물 관련 유의사항 – 본 저작물(문제 및 그림)은 학습지 제작소에 있으며, 비상업적, 상업적 이용이 가능합니다. – 저작물을 사용 시 출처를 밝힌 후, 자유롭게 사용이 가능합니다. – 학습지제작소의 저작물을 2차 배포하거나, 제 3자에게 제공하거나, 또는 출판하는 행위(ISBN이 포함된 서적으로 출판)는 엄격히 금지합니다. 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