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초기하분포(超幾何分布, hypergeometric distribution)란 비복원추출에서 N개 중에 n번 추출했을 때 원하는 것 k개가 뽑힐 확률의 분포이다.
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https://hsm-edu.tistory.com/843
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[기초통계] 초기하분포 의미 및 개념 정리
초기하분포(hypergeometric distribution)란 비복원추출에서 N개 중에 M개가 원하는 것이고, K번 추출했을때 원하는 것 x개가 뽑힐 확률의 분포이다.
Source: losskatsu.github.io
Date Published: 1/28/2021
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초기하 분포 – Minitab
초기하 분포는 표본이 추출된 모집단의 총 항목 수를 알고 있을 때 고정 표본 크기의 사건 수를 모형화하는 이산형 분포입니다. 각 표본 항목의 가능한 결과는 2 …
Source: support.minitab.com
Date Published: 5/7/2022
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[통계학] 09-3. 초기하분포 – 딥러닝 공부방
유한모집단이 두 그룹으로 나누어져 있고 표본을 비복원으로 추출할 때 특정 그룹에서 뽑힌 표본의 수에 대한 확률분포를 알아보겠습니다. 초기하분포 …
Source: deep-learning-study.tistory.com
Date Published: 2/19/2022
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확률분포(3): 초기하 분포 – 정보사회학연구소
초기하 확률분포(hypergeometric probability distribution)는 그런 아쉬움을 채워주는 확률 모형이다. 이 분포에서는 성공확률이 일정하지 않아도 …
Source: piramvill2.org
Date Published: 12/7/2021
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초기하 분포(Hypergeometric distribution) 정리, 공식, 특징
초기하 분포(hypergeometric distribution)는 유한 모집단이 두 그룹으로 나누어져 있고 표본을 비복원으로 추출할 때 특정 그룹에서 뽑힌 표본의 수 …
Source: hyunhp.tistory.com
Date Published: 6/21/2022
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[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (7) 이항분포와의 차이
모집단에서 표본을 뽑아 원하는 원소가 포함될 확률분포를 구할 때, 복원추출로 뽑으면 ‘이항분포’, 비복원추출로 뽑으면 ‘초기하분포’가 됩니다. ◇쿠팡 …
Source: hsm-edu.tistory.com
Date Published: 1/20/2021
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초기하분포,hypergeometric_distribution – VeryGoodWiki
초기하확률변수 $X$ 의 분포 : 초기하분포. 식을 다시 써보면. $P(X=x)=\frac{{}_k{\. 무한모집단에서 표본을 임의추출하거나, 유한모집단에서 복원추출하는 경우, …
Source: tomoyo.ivyro.net
Date Published: 8/18/2021
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- Author: 통계의 본질 EOStatistics
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- Date Published: 2019. 12. 12.
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[기초통계] 초기하분포 의미 및 개념 정리
초기하분포 의미 및 개념 정리
참고링크
1. 초기하분포 정의
초기하분포(hypergeometric distribution)란 비복원추출에서 N개 중에 M개가 원하는 것이고, K번 추출했을때 원하는 것 x개가 뽑힐 확률의 분포이다.
2. 복원추출/비복원추출이란
항아리에 5개의 공이 들어있고 그 중 하나씩 뽑는 상황을 가정해봅시다. 복원추출이란 항아리에서 공을 뽑은 이후 다음 공을 뽑기 전에 이전에 뽑은 공을 다시 항아리속으로 집어넣는 것이고, 비복원추출이란 한번 공을 뽑으면 다시 공을 집어넣지 않고 다음 공을 뽑는 것입니다. 이 둘은 얼핏차이 없어보이지만 큰 차이가 있습니다. 항아리에 공이 5개 있으므로 비복원추출의 경우 뽑을 수 있는 최대 횟수가 5회입니다. 즉 뽑을수있는 횟수에 제한이 있다는 뜻이죠. 반면 복원추출을 할 경우 공을 뽑은 후 다시 항아리속에 넣기 때문에 뽑을 수 있는 횟수가 무한대입니다. 즉, 뽑을 수 있는 횟수가 무제한이라는 것입니다.
3. 이항분포와의 관계
따라서 비복원추출을 가정하는 상황에서는 초기하분포를 사용해야하며, 복원추출을 가정하는 상황에서는 이항분포를 사용해야 합니다.
참고. 확률분포간 관계도
Minitab
초기하 분포는 표본이 추출된 모집단의 총 항목 수를 알고 있을 때 고정 표본 크기의 사건 수를 모형화하는 이산형 분포입니다. 각 표본 항목의 가능한 결과는 2개(사건 또는 비사건)입니다. 표본은 비복원이므로 표본의 모든 항목이 서로 다릅니다. 모집단에서 한 번 선택한 항목은 다시 선택할 수 없습니다. 따라서 아직 선택하지 않은 항목이 선택될 가능성은 매 시행마다 증가합니다.
초기하 분포는 비교적 작은 모집단에서 비복원으로 추출되는 표본에 사용됩니다. 예를 들어 초기하 분포는 두 비율 간의 차이를 검사하는 Fisher의 정확 검정과 유한한 크기의 고립된 로트에서 표본을 추출하는 계수형 합격 표본 추출에 사용됩니다.
초기하 분포는 3가지 모수, 즉 모집단 크기, 모집단 내 사건 카운트 및 표본 크기로 정의됩니다.
[통계학] 09-3. 초기하분포
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(통계학-기본개념과 원리, 여인권)을 바탕으로 제작하였습니다.
(k-mooc 통계학의 이해1, 여인권)을 수강하면서 공부한 내용을 정리해보았습니다.
유한모집단이 두 그룹으로 나누어져 있고 표본을 비복원으로 추출할 때 특정 그룹에서 뽑힌 표본의 수에 대한 확률분포를 알아보겠습니다.
초기하분포의 성질과 관련 문제에 대해 알아보겠습니다.
1. 초기하분포 – Hypergeometric Distribution
초기하분포란
크기가 $N$인 모집단이 크기가 $M$과 $N-M$인 두 개의 부모집단 (A, B)로 나누어진 경우(유한 모집단)
n개의 표본을 비복원 추출할 때, 부모집단(A)에서 추출된 표본 수의 분포를 의미합니다. (각 표본의 추출과정은 독립적이지 않음)
일반식은 다음과 같습니다.
여기서 분모의 값은 전체 $N$개 중 $n$개의 표본을 선택하는 조합의 수이고
분자의 값은 불량품 $M$개에서 $x$개를 선택하고 정상품 $N-M$개에서 $n-x$개를 선택하는 조합의 수 입니다.
예시문제
6개가 정상품, 4개의 불량품이 있는 상자에서 임의로 3개의 제품을 비복원 추출한 경우에 3개 중 1개가 불량품일 확률을 구해봅시다.
위 식에서 3은 위치 중 하나를 선택해 ‘불’ 대입하는 방법의 수 입니다.
그러면 $\frac{4 X 6 X 5}{10 X 9 X 8}$의 의미도 살펴보겠습니다.
이를 정리하면 다음과 같은 식이 됩니다.
위 식을 확률질량함수로 나타내면 다음과 같습니다.
여기서 분모의 값은 전체 $N$개 중 $n$개의 표본을 선택하는 조합의 수이고
분자의 값은 불량품 $M$개에서 $x$개를 선택하고 정상품 $N-M$개에서 $n-x$개를 선택하는 조합의 수 입니다.
2. 초기하분포의 확률질량함수
초기하분포의 확률질량함수는 다음과 같습니다.
여기서 X의 최댓값은 n과 M 중 작은 값인 mni(n,M)이 됩니다.
X의 최솟값은 max(0, n-N+M)가 됩니다. n이 정상품의 수 N-M보다 크면 최소한 n-N+M개의 불량품이 반드시 선택되기 때문입니다.
N(모집단)이 매우 크고 n(표본의 크기)이 상대적으로 작은 경우,
비복원추출의 경우에도 베르누이시행으로 보아도 무리가 없습니다.
따라서 초기화분포는 p = M/N인 이항분포로 근사할 수 있습니다.
예시문제
10000개의 제품 중 7000개가 정상, 3000개가 불량이라면 3개를 비복원 추출에서 불량품이 한 개일 확률을 구해보겠습니다.
N이 크고 n이 작으므로 이항분포로 가정하여 풀 수 있습니다.
3. 초기하분포의 기댓값
초기하분포의 기댓값은 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.
분산은 다음과 같습니다.
왜 이런 결과가 나왔는지 설명하도록 하겠습니다.
설명
초기하분포의 평균과 분산은 이항분포의 평균과 분산을 계산할 때처럼 각 실험의 결과의 합으로 생각하면 쉽게 유도할 수 있습니다.
확률변수 $X_i$는 $i$번째 추출에서 불량품이면 1, 아니면 0의 값을 가진다고 하면, 초기하확률변수 $X$도 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
여기서 $X$가 이항확률변수와 다른 점은 $X_i$들이 서로 독립이 아니라는 것 입니다.
하지만 모든 $i$ = 1, … , n$에 대해 $X_i$의 확률 분포는 다음과 같습니다.
그러므로 $p = M/N$이라고 하면 $E(X_i) = M/N = p$이고 $Var(X_i) = p(1 – p)$가 되고 $X$의 평균은 다음과 같이 계산이 됩니다.
이제 분산을 구해보도록 하겠습니다.
이항분포와 다른 점은 추출이 비복원이므로 각각의 시행이 독립이 아닙니다.
따라서 공분산계수 값을 더해주어야 합니다.
위 식을 정리하면 다음 식을 도출할 수 있습니다.
초기하분포의 분산은 이항분포의 분산에 $\frac{M-n}{M-1}$을 곱한 형태인데 이 항을 유한모집단수정항이라고 합니다. 이 값은 n이 1보다 크므로 언제나 1보다 작습니다.
즉, 초기하분포의 분산은 이항분포의 분산보다 작아 통계적으로 더 안정적인 결과를 얻을 수 있기 때문에 표집(sampling)검사에서는 복원추출보다는 비복원추출에 의한 검사를 많이 합니다.
예시문제
50개의 전구들이 들어 있는 상자에서 10개의 전구를 무작위로 선택하여 검사하겠습니다.
10개의 전구 중 불량전구의 개수가 1개 이하이면 이 회사의 전구를 구매하기로 합니다.
만약 이 상자에 5개의 불량품이 있을 때, 구매할 확률은?
QC곡선
4. 정리
이상으로 초기하분포에 대해서 알아보았습니다. 감사합니다.
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초기하 분포(Hypergeometric distribution) 정리, 공식, 특징
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안녕하세요, HELLO
초기하 분포(hypergeometric distribution)는 유한 모집단이 두 그룹으로 나누어져 있고 표본을 비복원으로 추출할 때 특정 그룹에서 뽑힌 표본의 수에 대한 확률분포입니다. 오늘은 베르누이 시행을 따르는 초기하 분포의 정의와 성질에 대해서 살펴보고자 합니다.
CHAPTER 1. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 선행 지식
CHAPTER 2. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 정리
CHAPTER 3. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 공식 및 특징
CHAPTER 1. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 선행 지식
‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’에 앞서서, ‘베르누이 시행’ 그리고 ‘이항분포’에 대해 내용 정리가 필요한 분들은 이전에 발행한 글을 참고해주시기 바랍니다.
2022.01.16 – [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] – 베르누이 시행(Bernoulli trial) 정리, 공식, 특징
2022.01.16 – [DATA_SCIENCE/통계 (Statistics)] – 이항분포(Binomial distribution) 정리, 공식, 특징
CHAPTER 2. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 정리
모집단이 유한하며, 크기가 N인 모집단에서 크기가 M과 N−M인 두 개의 부모 집단 (A, B)에서 n 개의 표본을 비복원 추출할 때, 목표하는 부모 집단(A)에서 추출된 표본 수의 분포를 의미합니다. 비복원으로 추출하기에, 각 표본의 추출 과정은 독립적이지 않은 특징이 있습니다.
초기하 분포의 일반식은 다음과 같습니다. 분모는 전체 N 개 중 n 개의 표본을 선택하는 조합의 수이고, 분자는 목표하는 부모 집단 (A)에서 M 개에서 x 개를 선택하고, 나머지 부모 집단 (B)에서 N−M 개에서 n−x 개를 선택하는 조합의 수입니다.
여기서 X의 최댓값은 n과 M 중 작은 값인 min(n, M)이 되며, X의 최솟값은 max(0, n-N+M)가 됩니다. 추가적으로 N(모집단)이 충분히 크고 n(표본의 크기)이 상대적으로 작은 경우에는, 비복원 추출의 결과를 베르누이 시행으로 간주할 수 있으며, 이에 따라 초기화 분포는 p = M/N인 이항분포로 근사할 수 있습니다.
CHAPTER 3. ‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’ 공식 및 특징
초기하 분포의 각 시행에서 목표하는 부모 집단 (A)에서 추출되면 1 값을 가지고, 다른 집단에서 추출되면 0으로 표시한 확률변수의 합으로 표시하면, 각 집단에서 추출되는 확률은 아래와 같습니다.
이를 바탕으로초기하 분포의 기댓값은 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.
분산의 경우, 이항분포와 다르게 비복원 추출로 진행되기에 각각의 시행이 독립이 아닙니다. 따라서 공분산 계수를 더해서 구해야 됩니다.
위 내용을 바탕으로 일반식으로 정리하면 다음 식으로 표현됩니다.
초기하 분포의 분산은 이항분포의 분산에 유한 모집단 수정계수 N−n/N−1을 곱한 값을 갖습니다. 초기하 분포의 분산은 n 값이 커질수록, 분산이 작아지며, 변동성이 줄어드는 것을 확인할 수 있습니다.
■ 마무리
‘초기하 분포(hypergeometric distribution)’의 공식 및 특징 등에 대해서 정리해봤습니다.
그럼 오늘 하루도 즐거운 나날 되길 기도하겠습니다
좋아요와 댓글 부탁드립니다 🙂
감사합니다.
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[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (7) 이항분포와의 차이
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(7) 이항분포와의 차이
초기하분포와 이항분포의 차이를 알아봅시다. 먼저 간단한 예시를 통해, 초기하분포를 다른 관점으로 이해해볼 것입니다.
흰구슬이 3개, 검정구슬이 2개 들어있는 상자가 있습니다. 이 상자에서 3개의 공을 꺼낼 때 검정구슬이 1개 포함될 확률을 구해봅시다.
이번에는 공을 1개씩 3번 꺼낼 때, 검정구슬이 1개 포함될 확률을 구해봅시다. 꺼낸 공은 다시 넣지 않습니다. 비복원추출입니다.
공이 뽑히는 순서에 따라 세가지 경우로 나뉩니다.
검흰흰
흰검흰
흰흰검
각각의 확률을 구해봅시다.
따라서 검은공이 한번 나올 확률은 아래와 같이 계산됩니다.
두 결과가 같습니다.
따라서 초기하분포는 크기가 M이고, 우리가 원하는 원소가 k개 들어있는 모집단에서, 크기가 1인 표본을 비복원추출로 n번 뽑을 때, 우리가 원하는 원소가 x개 들어있을 확률분포라고 이해할 수도 있습니다.
만약 복원추출로 뽑는다면 어떻게 될까요?
검은공이 한번 나올 확률은 아래와 같이 계산됩니다.
이항분포가 됩니다.
모집단에서 표본을 뽑아 원하는 원소가 포함될 확률분포를 구할 때, 복원추출로 뽑으면 ‘이항분포’, 비복원추출로 뽑으면 ‘초기하분포’가 됩니다.
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