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이번 시간은 [제논의 역설] 입니다.
고대 그리스 엘리아 학파의 철학자 제논은 역설 제조기로 유명합니다.
너무 역설을 과하게 퍼트린 나머지
왕의 노여움을 사서 참수형에 처해지게 되는데요~
죽기
전 왕에게 할 말이 있으니 귀를 대보시라하고
귀를 물었다는 썰이 전해집니다 !!
그가 퍼트린 역설 중 유명한 네가지 역설을 살펴보고~
재논의 역설이 수학사와 과학사에 남긴 엄청난 파장을 알아보겠습니다 !
지금부터 스탈트합니다 🚘
– 목차 –
0:00 인트로
0:50 엘리아의 제논
1:42 아킬레스와 거북이
4:43 제논과 나비효과
== TAG ==
#제논 #제논의역설 #아킬레스와거북이
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[Video Source Support]Youtube channel \”freeticon\” : https://www.youtube.com/c/Freeticon
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제논의 역설 – 나무위키
그러면 거북이와 아킬레우스는 10m만큼 떨어져 있는데, 이 때 아킬레우스가 다시 10m를 더 나아가면 거북이는 1m를 이동하여 거북이가 다시 1m 만큼을 …
Source: namu.wiki
Date Published: 3/3/2022
View: 1979
제논의 역설 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
아킬레우스와 거북이 · 이분법의 역설 · 화살의 역설 · 반론 · 외부 링크 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 6/16/2021
View: 3623
아킬레스와 거북이 – Sciencetimes – 사이언스타임즈
거북이는 아킬레스의 속도의 1/10로 움직이므로 아킬레스가 100m 지점에 도달했을 때 거북이는 10m 앞서 있게 된다. 다시 아킬레스가 달려 그 지점까지 …
Source: www.sciencetimes.co.kr
Date Published: 11/3/2021
View: 205
아킬레스와 거북이 | 다음영화
아킬레스는 정말 먼저 출발한 거북이를 따라잡을 수 없는 걸까? 마치스는 부유한 가정에서 태어났지만 부모님이 돌아가신 뒤 고아원으로 보내진다.
Source: movie.daum.net
Date Published: 2/14/2021
View: 7499
제논의 역설 – 거북이를 따라잡지 못하는 아킬레우스?
고대 그리스의 철학자이자 수학자 제논이 만든 문제로,. 완전히 증명되기까지 2천 년이 걸린 ‘제논의 역설’에서. 화살과 과녁, 아킬레우스와 거북이에 관한 문제에 …
Source: www.artnstudy.com
Date Published: 10/28/2022
View: 675
아킬레스는 거북이를 따라 잡을 수 없다 ? – 오마이뉴스 모바일
위의 역설을 자세히 설명하면 다음과 같다. 아킬레스가 거북이보다 10배 빠르고 거북이 100m 뒤에서 출발해 거북이를 따라 잡는 것으로 가정한다.
Source: www.ohmynews.com
Date Published: 11/16/2022
View: 5748
아킬레스와 거북이 경주 – 대구일보
아킬레스는 거북이가 출발한 지점으로 가는 동안 거북이도 앞으로 나아간다. 즉 거북이는 아킬레스 속도의 1/10배 이므로 아킬레스가 100m 지점에 도착 …
Source: www.idaegu.com
Date Published: 1/6/2022
View: 5525
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주제에 대한 기사 평가 아킬레스 와 거북이
- Author: 매스프레소 Mathpresso
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- Date Published: 2021. 9. 22.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
제논의 역설은 고대 그리스 엘레아의 제논이 만든 문제들로, 사물이 움직이고 있다고 우리가 느끼는 것은 모두 환상이라는 파르메니데스의 사상을 지지하기 위해 만든 것이다.
아킬레우스와 거북이 [ 편집 ]
제논의 역설을 나타낸 그림. 아킬레우스는 거북이를 따라잡지 못하는가?
아킬레우스가 거북이보다 10배 빨리 이동할 수 있다고 가정하고, 아킬레우스보다 거북이를 100m 앞에서 출발 시킨다. 아킬레우스가 100m를 달려가면 거북이는 10m를 가고, 거북이를 따라잡기 위해 아킬레우스가 10m를 가면 그동안 거북이는 1m를 나아간다. 아킬레우스가 거북이를 따라잡기 위해 달리는 동안 거북이 역시 움직이므로 아킬레우스는 영원히 거북이를 따라잡을 수 없다.
이분법의 역설 [ 편집 ]
어떤 물체가 A지점에서 B지점으로 이동하기 위해서는 그 중간 지점인 C를 통과해야 한다. 그리고 마찬가지로 C에서 B로 가려면 그 중간 지점인 D를 통과해야 하며, 또한 D에서 B로 가려면 그 중간 지점인 E를 통과해야 하고… 이런 식의 사고를 계속하다 보면 C와 B사이의 거리가 아무리 짧다 해도, C에서 B까지 가려면 무한히 많은 점을 통과해야 하기 때문에 물체는 이동할 수 없다는 이야기이다.
화살의 역설 [ 편집 ]
화살이 날아가고 있다고 가정할 때 시간이 지남에 따라 화살은 어느 점을 지날 것이다. 한 순간 동안이라면 화살은 어떤 한 점에 머물러 있을 것이고, 그 다음 순간에도 화살은 어느 점에 머물러 있을 것이다. 화살은 항상 머물러 있으므로 사실은 움직이지 않는 것이라는 이야기이다.
반론 [ 편집 ]
제논의 역설은 우리가 경험적으로 알고 있는 결과와 다른 결론을 주장하기 때문에 역설이라는 이름이 붙여졌다. 제논의 역설은 미분의 개념과 운동의 개념을 고안한 근대 고전 물리학의 발달에 의해 반박되었다.
제논은 물체의 운동을 설명하면서 물체가 이동한 거리만을 고려하여 물체가 이동하는 데 걸린 시간은 고려하지 않았다. 실제 물체의 이동은 움직이는 데 걸린 시간으로 움직인 거리를 나누어서 속도를 구하여 비교해야 한다. 즉 물체의 이동은 속도에 의해 표현된다.
수학적인 해결법으로는 무한등비급수를 이용할 수 있고, 철학적인 해결법으로는 베르그송이 해결한 방법인 운동은 분할할 수 없고 제논의 분석은 운동 그 자체가 아닌 운동이 지나간 궤적을 분석하는 것 뿐이라는 반박이 있다.
외부 링크 [ 편집 ]
아킬레스와 거북이 – Sciencetimes
[한국일보 공동] 수학으로 세상읽기 ‘신화’가 ‘할리우드’와 만났을 때…. 최근 화제가 된 블록버스터 영화 ‘트로이’를 보고 든 생각이다. 이 영화에는 트로이의 왕자 헥토르 등 매력적인 인물이 여럿 등장하지만 영화의 주인공은 아무래도 브래드 피트가 열연한 아킬레스일 것이다.그리스의 전설적인 투사이자 마라톤 선수인 아킬레스는 철학자 제논의 패러독스에도 등장한다. 이 패러독스에 의하면 천하의 마라톤 선수인 아킬레스도 거북이보다 뒤에서 출발한다면 결코 거북이를 따라잡을 수 없다.
예를 들어 아킬레스가 뛰는 속도가 거북이의 속도보다 10배 빠르고, 거북이가 아킬레스보다 100m 앞에서 출발한다고 가정하자. 거북이와 동시에 출발한 아킬레스가 거북이가 출발한 지점으로 가는 동안 거북이도 얼마간은 전진한다. 거북이는 아킬레스의 속도의 1/10로 움직이므로 아킬레스가 100m 지점에 도달했을 때 거북이는 10m 앞서 있게 된다.
다시 아킬레스가 달려 그 지점까지 가면 거북이는 10m의 1/10인 1m를 아킬레스보다 앞서게 된다. 이렇게 계속하면 거북이와 아킬레스 사이의 간격은 점점 좁혀지지만 거북이는 아킬레스보다 항상 조금이라도 앞서 있게 되므로, 아킬레스는 결코 거북이를 추월할 수 없다.
실제로 경주를 하면 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 있다는 것은 누구나 다 아는 것이지만, 제논의 패러독스에 내재된 논리적 오류를 정확히 지적하여 반박하는 것은 쉽지 않은 일이었다. 시간에 따른 위치를 따져보면, 출발 1분 후에 아킬레스는 출발점으로부터 100m 지점에, 거북이는 110m 지점에 있다.
그렇지만 출발 2분 후에 아킬레스는 출발점으로부터 200m 지점에, 거북이는 120m 지점에 있으므로, 이미 아킬레스는 거북이를 앞지른 상태이다. 아킬레스는 영원히 거북이를 추월할 수 없는 것이 아니라 일정 시간이 지나면 가능해지는데, ‘무한급수의 합’을 통해 계산해 보면 아킬레스가 거북이를 추월하는 것은 10/9분임을 알 수 있다.
고대 그리스에서는 여러가지 패러독스가 유행했는데, ‘크레타인인 에피메니데스가 모든 크레타인은 거짓말쟁이라고 말했다’는 문장이 유명하다. 이를 응용한 것이 ‘이 문장은 거짓이다’라는 ‘거짓말쟁이의 패러독스’이다. 만약 이 문장이 참이라면 문장이 의미하는 바에 따라 이 문장은 거짓이 된다. 또 이 문장이 거짓이라면 이 문장은 참이 되어야 한다. 즉 참이라고 하면 거짓이 되고, 거짓이라고 하면 참이 되는 모순이 발생한다.
수리철학자 러셀이 제기한 ‘이발사의 패러독스’도 있다. 어느 마을에 한 이발사가 있는데, 이 이발사는 자신의 수염을 스스로 깎지 않는 마을 사람의 수염만 깎아 준다. 그렇다면 이 이발사는 자신의 수염을 깎을 것인가, 깎지 않을 것인가?
만일 이 이발사가 자신의 수염을 깎는다면, 스스로 자기 수염을 깎지 않는 사람의 수염만 깎는다는 전제에 위배되므로 자신의 수염을 깎을 수 없다. 반대로 이 이발사가 자신의 수염을 깎지 않는다면, 자신의 주장에 의해 이발사는 자기 수염을 깎아야 한다.
수학사에서 나타났던 이러한 패러독스들은 당시의 수학자들을 당혹스럽게도 했지만, 수학의 이론적 토대를 견고히 하는 데 기여했다.
/박경미 홍익대 교수
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아킬레스는 거북이를 따라 잡을 수 없다 ?
무한(infinity 無限) 이라는 개념은 인간의 합리적 이해와 직관의 판단력과 상식을 뛰어넘는 너무나 압도적이고 이상한 무엇이었다. 무한을 탐구하던 수학자들은 종교의 영역으로 도피하거나 미쳐버리거나 심지어 살해되기까지 하였다. 도무지 성립할 것 같지 않는 역설을 이용해 무한에 접근해 보자.
이러한 역설 가운데 가장 유명한 것이 “아킬레스와 거북이의 달리기 경주”다.
그리스 신화의 영웅 아킬레스와 거북이가 달리기를 하면 먼저 출발한 거북이를 아킬레스가 아무리 빨리 달려도 따라 잡을 수 없다는 것을 논증한 것이다.
자세히 설명하면, 아킬레스가 앞에 달려가는 거북이를 뒤에서 쫓는다고 하자. 거북이 걸음이 아무리 늦더라도 아킬레스가 원래 거북이가 있던 곳에 도착하였을 때 그동안 거북이는 자기 속력으로 얼마 간 전진해 있다.
다음에 아킬레스가 다시 거북이가 있던 지점까지 도착했을 때도 거북이는 또 얼마쯤 전진해 있다. 다시 아킬레스가 거북이가 있던 지점에 왔을 때도 거북이는 그래도 얼마쯤은 전진해 있다.
이렇게 계속하다 보면 아킬레스는 결국 거북이를 추월할 수 없다는 것이 제논의 역설이다. 우리는 그의 결론이 분명히 틀렸다는 것을 알고 있으나 그의 논증 중 어디가 잘못된 것인지 반박하기란 쉽지 않다.
▲ 아킬레스와 거북이의 경주 위의 역설을 자세히 설명하면 다음과 같다.
아킬레스가 거북이보다 10배 빠르고 거북이 100m 뒤에서 출발해 거북이를 따라 잡는 것으로 가정한다. 아킬레스가 100m를 달려가서 거북이가 있던 자리에 오게 되면 그동안 거북이는 100m의 10분의 1지점인 10m 만큼 앞서 있게 된다.
아킬레스가 또 10m를 달려가서 거북이가 있던 자리에 오게 되면 그 사이에 거북이는 10m의 10분의 1인 1m 만큼 전진해 있다. 이렇게 계속하면 아킬레스와 거북이의 거리가 점점 가까워지기는 하지만 거북이는 아킬레스보다 언제나 조금 앞에 있다.
따라서 아킬레스는 거북이를 추월할 수 없다는 것이 그의 설명이다.
제논의 패러독스는 나아가 시간과 공간이 무한히 분할될 수 있다는 그 시대의 공간과 시간에 대한 이해와 가정으로는 아예 운동이 불가능하다는 것을 추론하였다.
따라서 공간과 시간을 분할된 영역의 총화로 이해하고, 움직임은 불연속의 조합이라고 믿었던 당시의 수학과는 충돌할 수밖에 없었다. 당시 사회는 이를 궤변으로 치부했다. 동시대의 대표적 사상가인 아리스토텔레스도 제논의 논증을 궤변으로 낙인찍어 버렸다.
▲ 제논 제논은 그 사회의 이단아로 치부됐고, 그의 치열하고도 위대한 사유는 무시되고 조롱받았다. 제논의 역설을 이해하고 해결하는 데는 무려 2500년이 필요하였다.
아리스토텔레스가 궤변으로 낙인찍은 후로 진드기처럼 각 시대 수학자들의 무의식과 의식을 괴롭혀오던 제논의 역설은 코시와 칸토의 수렴이론과 무한론에 의해 논리에 결함이 있다는 것이 증명됐다.
당시 사람들은 제논의 역설이 분명히 틀렸음을 알면서도 이를 논리적으로 반박하기에는 역부족이었다. 그러나 무한급수에 대한 수렴 이론의 발달과 무한에 대한 칸토의 연구가 이 역설이 지닌 논리적 결함을 분명히 제시했다.
여기 등장한 수렴이란 개념은 양의 정수의 무한 합은 무한히 발산 할 것이라는 전 시대의 예측과 상식의 틀을 깨고 위의 역설과 같이 비율로 변하는 무한급수의 합은 유한하다는 것이다. 이는 전시대의 수학 통념을 깨는 통렬한 쾌거였다.
위의 역설의 경우에는 거북이는 처음 10m, 다음 1m, 그 다음 1/10m, 그 다음 1/100m…. 이렇게 무한이 간다 해도 이 무한 급수의 합은 유한하며 그 합은 100/9m가 된다. 그러므로 아킬레스는 100/9m를 달리게 되면 거북이를 따라 잡게 된다는 것이다.
결국 제논의 역설은 무한급수의 수렴이라는 새로운 개념으로 그 긴 세월 어둠의 미로에서 빛을 찾게 된 것이다.
위대한 철학자며 사상가이며 치열한 논리의 사내인 고대 그리스 엘레아의 제논(Zenon 490-429 BC)은 위의 예 외에도 당시 반박하기 어려운 여러 역설을 제안해 동시대의 상식에 도전했으며 많은 사람을 당혹하게 하였다.
이러한 역설이 얼마나 당혹스러웠던지 왕에게까지 미움을 받아 무참히 처형되었다고 한다. 처형 당시 그는 형장에서 마지막으로 왕에게 전해야 할 중대한 비밀이 있는 것처럼 해 왕에게 접근해서 왕의 귀를 물어뜯었는데, 호위 병사가 그의 목을 자른 뒤에도 그의 목이 왕의 귀를 물고 있었다고 한다.
또 다른 전설이 있다.
제논이 사형 언도를 받자 왕에게 책을 주면서 책 속에 중요한 비밀이 담겨 있으니 왕이 직접 읽어 보라고 했다. 왕은 책을 받아 책장을 넘겼으나 책장이 밀착되어 있어 한 장씩 잘 넘길 수가 없었다. 흔히 우리가 책을 넘길 때처럼 손가락에 침을 묻혀 책장을 다 넘겨도 거기엔 아무 내용도 없었다.
이 때 사형장에서 왕을 지켜보고 있던 제논은 왕에게 “나를 처형하는 왕! 당신도 그 책장마다 묻은 은독이 곧 몸에 퍼져 죽게 될 것이다”고 저주하며 죽어갔다고도 한다.
▲ 칸토 무한론을 정립한 칸토는 상식으로는 도무지 납득할 수 없는 자연수와 유리수의 무한의 크기는 같다는 것을 ‘유리수의 가부번성에 대한 대각화 증명’이라는 단순하고도 명증한 방법으로 증명했다.
나아가서 자연수와 유리수의 무한과 실수의 무한의 크기가 다르다는 것을 증명하였다. 즉, 실수가 자연수보다 훨씬 큰 무한이라는 것이다. 나아가 연속체 가설을 제안하여 무한에는 여러 단계가 있으며 이를 알레프의 기수라 이름 하고 알레프 간의 관계에 대한 자신의 가설을 증명하고자 헌신하였다.
그러나 이 가설은 자신을 속박하는 굴레가 되었으며 또 다른 역설과 모순의 씨앗으로 남게 되었다. 제논의 역설을 궤변의 수준에서 무한론으로 극복하였던 칸토(Georg Cantor 1845-1918)는 무한의 차원(알레프의 기수)이란 늪에서 헤매다 독일의 산업도시 할레의 정신병원에서 1918 년 1월 6일 정신병을 치료하던 중 사망했다.
지금 할레에는 무덤도 유골도 없이 한 위대한 수학자의 묘비만 외로이 서있다.
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